ACDaily 3

数学与简单DP

数学（根据例题讲解）

买不到的数

小明开了一家糖果店。

他别出心裁：把水果糖包成4颗一包和7颗一包的两种。

糖果不能拆包卖。

小朋友来买糖的时候，他就用这两种包装来组合。

当然有些糖果数目是无法组合出来的，比如要买 10 颗糖。

你可以用计算机测试一下，在这种包装情况下，最大不能买到的数量是17。

大于17的任何数字都可以用4和7组合出来。

本题的要求就是在已知两个包装的数量时，求最大不能组合出的数字。

输入格式

两个正整数 n,m，表示每种包装中糖的颗数。

输出格式

一个正整数，表示最大不能买到的糖数。

数据范围

2≤n,m≤1000，
保证数据一定有解。

输入样例：

4 7

输出样例：

17

题解

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    int n, m, res = 0;
    cin >> n >> m;
    res = (m-1)*(n-1) - 1;
    cout << res;
    return 0;
}

1. 找最大公约数，如哦不是最大公约数的倍数则无解

2. 打表找规律，裴蜀定理，获得公式，具体公式推导可以参考AcWing525

   • 最后进行公式输出即可

   • 递归能够确定终点，需要由终点进行反推，来判断深搜是否成立，中间进行的递归是为了确定深搜中不同的方向（与二叉树相似）

   • 注意这仅仅是打表

   • 最终还要根据数据表内的信息来寻找规律

感冒的蚂蚁

长 100 厘米的细长直杆子上有 n 只蚂蚁。

它们的头有的朝左，有的朝右。

每只蚂蚁都只能沿着杆子向前爬，速度是 1 厘米/秒。

当两只蚂蚁碰面时，它们会同时掉头往相反的方向爬行。

这些蚂蚁中，有 1 只蚂蚁感冒了。

并且在和其它蚂蚁碰面时，会把感冒传染给碰到的蚂蚁。

请你计算，当所有蚂蚁都爬离杆子时，有多少只蚂蚁患上了感冒。

输入格式

第一行输入一个整数 n, 表示蚂蚁的总数。

接着的一行是 n 个用空格分开的整数 Xi, Xi 的绝对值表示蚂蚁离开杆子左边端点的距离。

正值表示头朝右，负值表示头朝左，数据中不会出现 0 值，也不会出现两只蚂蚁占用同一位置。

其中，第一个数据代表的蚂蚁感冒了。

输出格式

输出1个整数，表示最后感冒蚂蚁的数目。

数据范围

1<n<50,
0<|Xi|<100

输入样例1：

3
5 -2 8

输出样例1：

3

题解

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 60;
int a[N];

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];
    
    int right = 0, left = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        if(abs(a[i]) < abs(a[0]) && a[i] > 0) left++;
        if(abs(a[i]) > abs(a[0]) && a[i] < 0) right++;
    }
    
    if(a[0] > 0 && right == 0 || a[0] < 0 && left == 0) cout << 1 << endl;
    else cout << left+right+1 << endl;
    return 0;
}

1. 做简单的魂穿假设，蚂蚁之间碰撞之时，方向不改变，但个体的性质发生变化
2. 分析
   • 首先以感染源蚂蚁为核心，按是否可能被感染将左右两边的蚂蚁进行分类
   • 判断感染源蚂蚁的行进方向，进行最终被感染蚂蚁的计算

饮料换购

乐羊羊饮料厂正在举办一次促销优惠活动。乐羊羊C型饮料，凭3个瓶盖可以再换一瓶C型饮料，并且可以一直循环下去(但不允许暂借或赊账)。

请你计算一下，如果小明不浪费瓶盖，尽量地参加活动，那么，对于他初始买入的 n 瓶饮料，最后他一共能喝到多少瓶饮料。

输入格式

输入一个整数 n,表示初始买入的饮料数量。

输出格式

输出一个整数，表示一共能够喝到的饮料数量。

数据范围

0<n<10000

输入样例：

100

输出样例：

149

题解

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    int res = n;
    while(n >= 3)
    {
        res += n/3;
        n = (n/3) + (n%3);
    }
    
    cout << res;
    return 0;
}

1. 注意这是一个上下取整问题

2. 注意每次都要尽可能将瓶盖换掉，不到多余